44 натуральных числа.
Имеются первые 44 натуральных числа (от 1 до 44). Мы выбираем случайно 6 чисел (не переставляя их местами, т.е. они идут в порядке возрастания). В скольких шестёрках, из всех возможных, будут несколько последовательных чисел? Какова вероятность выбрать такую шестёрку?
Пример:
- (5, 7, 11, 18, 25, 33) - шестерка без последовательных чисел.
- (5, 10, 11, 20, 25, 44) - два последовательных числа (...10, 11, ...).
Прежде всего, заметим, что формула yi=xi-(i-1), i=1..6 задаёт взаимно однозначное отображение между множествами:
X = { (x1,...,x6) | 1<=x1<...<=44 } и
Y = { (y1,...,y6) | 1<=y1<=y2<=...<=y6<=39 }
Их мощности
|X| = C(44,6) (число сочетаний)
|Y| = CC(39,6) (число сочетаний с повторениями)
очевидно равны.
Тот факт, что в шестёрке (x1,...,x6) нет последовательных чисел, равносилен тому, что в соответствующей ей шестёрке (y1,...,y6) нет равных чисел. Число таких шестёрок, очевидно, равно C(39,6). А число шестёрок, в которых присутствуют последовательные числа, соответственно будет равно C(44,6)-C(39,6).
Таким образом, искомая вероятность равна 1 - C(39,6)/C(44,6) = 1 - 3262623/7059052 = 41719/77572 ~= 0.53781
Гольф.
16 игроков в гольф играют по 4 раунда в день в течении пяти дней. В одном раунде играют 4 спортсмена. Каждый игрок может сыграть только один раз в день.
Как распределить игроков в турнире, чтобы каждый игрок сыграл хотя бы однажды с каждым другим игроком?
| День | Участники 1 раунда | Участники 2 раунда | Участники 3 раунда | Участники 4 раунда | ||||||||||||
| 1 | 3 | 5 | 9 | 10 | 7 | 8 | 11 | 13 | 12 | 15 | 16 | 4 | 14 | 1 | 2 | 6 |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 11 | 7 | 9 | 14 | 16 | 8 | 10 | 15 | 1 | 2 | 3 | 12 | 13 |
| 3 | 6 | 7 | 10 | 12 | 11 | 14 | 15 | 3 | 13 | 16 | 1 | 5 | 2 | 4 | 8 | 9 |
| 4 | 14 | 12 | 8 | 5 | 6 | 9 | 13 | 15 | 2 | 10 | 11 | 16 | 1 | 3 | 4 | 7 |
| 5 | 9 | 11 | 12 | 1 | 10 | 13 | 14 | 4 | 15 | 2 | 5 | 7 | 3 | 16 | 6 | 8 |
Конверт.
Кто-то пpиготовил два конвеpта с деньгами. В одном денег в два pаза больше, чем в дpугом. Вы pешили взять один из конвеpтов, но затем вам в голову пpишли следующие мысли: "Пpедположим, что выбpанный мною конвеpт содеpжит X доллаpов, тогда дpугой содеpжит или X/2 или 2Х баксов. Оба случая pавновозможны, поэтому сpедне-ожидаемое будет 0.5 * X/2 + 0.5 * 2X = 1.25X доллаpов, поэтому я должен пеpедумать и взять дpугой конвеpт. Hо тогда я могу пpиметь свои pассуждения еще pаз. Что-то здесь не так! Где я ошибся?"
В pазновидности этой задачи, вам pазpешено заглянуть в один из конвеpтов пеpед тем как сделать окончательный выбоp. Пpедположим, что заглянув в конвеpт вы увидели 100 зеленых. Измените ли вы свой выбоp?
Парадокс решается тем, что случаи 100-200 и 100-50 не равновозможны. У вашего визави не бесконечно много денег.
Больше или меньше?
Я выбиpаю два случайных числа и говоpю вам одно из них. Вам нужно угадать, больше оно или меньше втоpого числа. Есть ли метод более пpодуктивный, чем случайный ответ "меньше" или "больше" (т.е. с веpоятностью пpавильного ответа больше чем 0.5)?
Выберите любую совокупную функцию вероятности P (x) такую что a > b == > P (a) > P (b). Теперь, если показанный номер - y, предположение "ниже" с вероятностью P (y) и "выше" с вероятностью 1-P (y). Эта стратегия дает вероятность угадывания > 1/2, так как вероятность ответа являющимся правильным - 1/2 * ((1-P (a)) + P (b)) = 1/2 + (P (b) -P (a)), что > 1/2.
Загадка Монти Холла.
Вы участвуете в игре, где ведущий предлагает вам выбрать одну из трёх дверей. За одной из них дорогая машина, главный приз! За другими двумя дверями находятся козы.
После того, как вы выбрали дверь случайным образом, ведущий (который, конечно, знает, за какой дверью приз) открывает одну из оставшихся дверей, за которой обнаруживается коза. Затем он предлагает вам или остаться у прежней двери, или изменить свой выбор и указать на другую, оставшуюся закрытой.
Итак, выберете ли вы другую дверь или откроете ту, которую выбрали сразу?
Всё дело в том, что вероятности нахождения приза за оставшимися двумя дверями не одинаковы! Ведь за выбранной вами дверью выигрыш либо есть (с вероятностью 1/3), либо нет. Значит, для второй двери вероятность нахождения за ней выигрыша равна 2/3. Поэтому на втором ходу правильная стратегия состоит не в кидании монетки, а в том, что нужно поменять дверь - то есть указать не на ту дверь, на которую Вы показывали вначале, а на вторую из оставшихся запертыми дверей.
Эта стратегия немедленно повышает шанс получить выигрыш до 2/3.
Карты.
Я показываю вам пеpемешанную колоду обыкновенных игpальных каpт. В любой момент, до того как как у меня кончатся каpты, вы должны сказать "КPАСHАЯ!". Если масть следующей каpты, котоpую я покажу, окажется кpасной (т.е. бубны или чеpви), то вы победили. Пpедположим, что я "банкиp" и не контpолиpую поpядок каpт. Вопpос в том, какая веpоятность вашего выигpыша при наилучшей стратегии?
Если на столе n карт и из них r красных (остальные - чёрные), лучшая стратегии дает вероятность r/(n+1).
Ответ Наугад.
Если вы выберете ответ на этот вопрос наугад, какова вероятность того, что вы угадаете правильно?
- 25%
- 50%
- 60%
- 25%
Ну и как вам кажется, какой ответ? 50%?
Листы, конверты, два стола.
На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, и в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.
Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.
Какова вероятность того, что после этих действий, на столе Y будут лежать 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?
Если внимательно разобраться в данной ситуации, то можно заметить, что в «тройке» конвертов, взятой наугад со стола X, могут оказаться либо три конверта с жёлтым листом, либо два конверта с жёлтым листом и один - с красным. Аналогично, со стола Y могут быть случайно выбраны либо три конверта с красным листом, либо два - с красным листом и один - с жёлтым. Перебрав все возможные варианты, можно прийти к выводу, что для того чтобы после указанного в условии случайного обмена конвертами, на столе Y оказались 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным, необходимо, чтобы одновременно выполнялись 2 условия:
1) В «тройке», которая была выбрана наугад из 6 конвертов со стола X, был бы один конверт с красным листом, а в остальных двух лежали бы жёлтые листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола X, содержали бы жёлтые листы, нас не устраивает, т.к. в этом случае, очевидно, что после обмена конвертами на столе Y будет как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола Y.
2) В «тройке», которая была выбрана наугад из 4 конвертов со стола Y, был бы один конверт с жёлтым листом, а в остальных двух лежали бы красные листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола Y, содержали бы красные листы, нас не устраивает, т.к. тогда после обмена конвертами на столе Y будет как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола X.
Ведь если все три конверта, выбранные со стола Y, содержат красные листы, это значит, что на этом столе лежит один конверт с жёлтым листом, и к нему добавится "тройка" конвертов со стола X, в которой либо 2, либо 3 конверта с жёлтым листом.
Следовательно, для того чтобы найти вероятность того, что после указанного случайного обмена конвертами на столе Y будут лежать по 2 конверта с жёлтым и красным листами, необходимо найти вероятности каждого из двух вышеуказанных событий и перемножить их значения.
Сначала найдём вероятность события (1).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола X, обозначив "жёлтые" конверты как A1, A2, A3, A4, A5, а "красный" – BB:
(A1, A2, A3) (A1, A3, A5) (A2, A3, A4) (A2, A5, BB)
(A1, A2, A4) (A1, A3, BB) (A2, A3, A5) (A3, A4, A5)
(A1, A2, A5) (A1, A4, A5) (A2, A3, BB) (A3, A4, BB)
(A1, A2, BB) (A1, A4, BB) (A2, A4, A5) (A3, A5, BB)
(A1, A3, A4) (A1, A5, BB) (A2, A4, BB) (A4, A5, BB)
Всего получим 20 «троек», 10 из которых содержат BB (конверт с красным листом).
Значит, вероятность события (1) равна:
P(X)=10/20=0,5=50%
Аналогично найдём вероятность события (2).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола Y, обозначив конверты с красным листом как B1, B2, B3, а конверт с жёлтым листом – AA:
(B1, B2, B3)
(B1, B2, AA)
(B1, B3, AA)
(B2, B3, AA)
Всего получим 4 «тройки», 3 из которых содержат AA (конверт с ЖЁЛТЫМ листом).
Значит, вероятность события (2) равна:
P(Y)=3/4=0,75=75%
Значит, искомая вероятность равна:
P = 0,5*0,75 = 0,375 = 3/8 = 37,5%
Ответ: 37,5%
Золотоискатели.
Несколько золотоискателей захотели разделить намытый ими золотой песок поровну, однако весов рядом не оказалось, а поехать в город, оставив песок никто не захотел. Если бы их было двое, то все было бы понятно: первый делит кучу на две части, а второй первым выбирает себе любую часть, при этом, если кому то и досталась меньшая часть, то ему в этом следует винить только себя. Обобщите способ раздела песка поровну между n золотоискателями (n>2). Способ должен гарантировать, что каждый получит не менее 1/n песка (конечно если только он сам не оплошается), даже если остальные золотоискатели вступят в сговор.
Вообще существует много способов решения, но мне нравится так называемый "громкий" метод решения, описанный у Гарднера. Для удобства представим, что все золото перелито в один длинный кусок золотой проволоки, который и нужно разделить так, чтобы никто не был в обиде. Один из делящих (неважно, кто) медленно перемещает руку с кусачками от одного конца проволоки к другому, тем самым отмеряя проволоку. В тот момент, когда кому-то кажется, что отмеренная доля не меньше 1/n, он громко кричит "Стоп" и тут же человек с кусачками сжимает инструмент, и крикнувший получает эту самую долю. Все молчавшие, естественно, считают, что 1/n еще не достигнута, поэтому оставшаяся часть не меньше (n-1)/n, а значит, каждый из них имеет шанс получить не меньше 1/n. Далее процесс дележа продолжается уже для (n-1) человека тем же самым образом.
Наклейки.
Подарили дочке очень красивый альбом наклеек "Мир животных". Для тех, кто не знает, как устроены подобные альбомы, расскажем подробно: на каждой странице оставлено несколько пустых мест для того, чтобы ребенок вклеил туда нужную наклейку - sticker (в нашем альбоме стикерами были животные). Таких пустых мест всего в альбоме, если не ошибаюсь, 200, все они пронумерованы и подписаны. Наклейки продаются в книжных магазинах, там же, где и сами альбомы, в специальных конвертиках - комплектами по 5 штук.
Все бы было хорошо, но беда в том, что купив очередной комплект, никогда не знаешь, какие именно животные в нем окажутся. Предвидя, что повторы неизбежны, я оценил примерные траты на эту развлекуху "с двойным запасом" - то есть предположил, что понадобится не 40 комплектов, а 80-90.
Прошел почти год. Почти все это время мы понемногу покупали наклейки, а дочка их аккуратно вклеивала. Но чем дальше, тем больше у неё накапливалось повторов одних и тех же наклеек. Сейчас у неё уже около сотни конвертиков из-под наклеек, но в альбоме все еще есть незаполненные места.
И только сегодня я наконец решился просчитать, сколько же наклеек "в среднем" нужно купить для заполнения такого альбома. Так сколько же?
Возможны два варианта:
- Наклейки в комплекте обязательно различаются, в этом случае нам необходимо "в среднем" 233 комплекта.
- Наклейки в комплекте могут повторяться. Немного побольше - 236 комплектов.